14070. Площадь полной поверхности тетраэдра равна S
. Докажите, что сумма квадратов всех его рёбер не меньше, чем 2S\sqrt{3}
.
Решение. Пусть рёбра тетраэдра равны a
, b
, c
, d
, e
и f
, площадь грани со сторонами a
, b
и c
равна S_{1}
, площадь грани со сторонами a
, d
и e
равна S_{2}
, площадь грани со сторонами b
, e
и f
равна S_{3}
, а площадь грани со сторонами c
, f
и d
равна S_{1}
.
Тогда (см. примечание к задаче 3969)
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant4S_{1}\sqrt{3},~a^{2}+d^{2}+e^{2}\geqslant4S_{2}\sqrt{3},
b^{2}+e^{2}+f^{2}\geqslant4S_{3}\sqrt{3},~c^{2}+f^{2}+d^{2}\geqslant4S_{4}\sqrt{3}.
Сложив эти неравенства, получим
2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2e^{2}+2d^{2}+2f^{2}=
=a^{2}+b^{2}+c^{2}+a^{2}+d^{2}+e^{2}+b^{2}+e^{2}+f^{2}+c^{2}+f^{2}+d^{2}\geqslant
\geqslant4S_{1}\sqrt{3}+4S_{2}\sqrt{3}+4S_{3}\sqrt{3}+4S_{4}\sqrt{3}=4\sqrt{3}(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})=4S\sqrt{3}.
Следовательно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}\geqslant2S\sqrt{3}.
Что и требовалось доказать
Источник: Чехословацкие математические олимпиады. — 1992
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1995, № 6, задача 2 (1994, с. 39), с. 193