14074. Любые две из трёх заданных прямых a
, b
и c
— скрещивающиеся. Можно ли построить такой параллелепипед, чтобы три его ребра лежали на прямых a
, b
и c
?
Ответ. Да, если эти прямые не параллельны одной плоскости.
Указание. См. задачу 7105.
Решение. Пусть \alpha
и \alpha'
— параллельные плоскости, проходящие через прямые b
и c
соответственно (см. примечание к задаче 8139); \beta
и \beta'
— параллельные плоскости, проходящие через прямые a
и c
соответственно, \gamma
и \gamma'
— параллельные плоскости, проходящие через прямые a
и b
соответственно.
Поскольку прямые a
, b
и c
не параллельны одной плоскости, пары плоскостей \alpha
и \alpha'
, \beta
и \beta'
, \gamma
и \gamma'
при пересечении образуют параллелепипед. При этом прямая a
пересечения плоскостей \beta
и \gamma
содержит ребро параллелепипеда. Аналогично, прямые b
и c
также содержат рёбра параллелепипеда.
Заметим, что такой параллелепипед единственный, так как единственны пары плоскостей \alpha
и \alpha'
, \beta
и \beta'
, \gamma
и \gamma'
(см. задачу 7105).
Если прямые a
, b
и c
параллельны одной плоскости, то такого параллелепипеда не существует.