14087. К сфере, вписанной в треугольную пирамиду, проведены касательные плоскости, параллельные граням пирамиды. Вокруг четырёх пирамид, отсекаемых этими плоскостями от исходной пирамиды, описаны сферы. Радиусы трёх из них равны 10. Найдите радиус четвёртой сферы, если известно, что радиус описанной сферы исходной пирамиды равен 19.
Ответ. 8.
Решение. Каждая из отсечённых пирамид подобна исходной, а отношение радиусов вписанных сфер подобных пирамид равно отношению радиусов описанных сфер. Пусть R
, R_{1}
, R_{2}
, R_{3}
, R_{4}
— радиусы сфер, описанных соответственно около исходной пирамиды и около пирамид, отсекаемых от неё указанными в условии плоскостями. Докажем равенство
\frac{R_{1}}{R}+\frac{R_{2}}{R}+\frac{R_{3}}{R}+\frac{R_{4}}{R}=2.
Пусть r
, r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
, r_{4}
— радиусы сфер, вписанных соответственно в исходную пирамиду и в пирамиды, отсекаемые от неё указанными в условии плоскостями. Рассмотрим пирамиду, отсекаемую от исходной пирамиды DABC
плоскостью, параллельной грани ABC
. Тогда отношение радиусов сфер, вписанных в отсечённую и в исходную пирамиды, равно отношению высот этих пирамид, т. е.
\frac{r_{1}}{r}=\frac{H-2r}{H}=1-\frac{2r}{H}.
Пусть V
— объём исходной пирамиды, S
— площадь её полной поверхности, S_{1}
— площадь грани ABC
. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{1}H=\frac{1}{3}Sr
(см. задачу 7185), откуда \frac{r}{H}=\frac{S_{1}}{S}
. Значит,
\frac{r_{1}}{r}=1-\frac{2r}{H}=\frac{2S_{1}}{S}.
Складывая это равенство с аналогичными равенствами для остальных отсечённых пирамид, получим
\frac{r_{1}}{r}+\frac{r_{2}}{r}+\frac{r_{3}}{r}+\frac{r_{4}}{r}=4-2\cdot\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}{S}=4-2\cdot\frac{S}{S}=4-2=2
Для описанных сфер то же соотношение даёт равенство
\frac{R_{1}}{R}+\frac{R_{2}}{R}+\frac{R_{3}}{R}+\frac{R_{4}}{R}=2.
Что и требовалось доказать.
Таким образом
\frac{10}{19}+\frac{10}{19}+\frac{10}{19}+\frac{R_{4}}{19}=2,
откуда R_{4}=8
.
Источник: Журнал «Квант». — 2006, № 2, с. 47
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 2005, задача 5