14096. Основание треугольной пирамиды KLMN
объёма 100 — правильный треугольник KLM
со стороной 10. Точка T
— середина ребра MN
. Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды KLMT
и KLMT
, равны между собой.
а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре KL
.
б) Найдите все возможные значения длины ребра MN
, если дополнительно известно, что грани KLM
и LMN
перпендикулярны.
Ответ. а) \arccos\left(\pm\frac{3}{5}\right)
; б) MN=8
или MN=4\sqrt{19}
.
Указание. См. задачи 14093 и 14094
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2017, 11 класс, билет 4, задача 7