14094. Основание треугольной пирамиды ABCD
— правильный треугольник ABC
. Объём пирамиды равен \frac{100}{3\sqrt{3}}
, а её высота, проведённая из вершины D
, равна 4. Точка M
— середина ребра CD
. Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды ABCM
и ABDM
, равны между собой.
а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре AB
.
б) Найдите все возможные значения длины ребра CD
, если дополнительно известно, что грани BCD
и ABC
взаимно перпендикулярны.
Ответ. а) \arccos\left(\pm\frac{3}{5}\right)
; б) CD=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}
или CD=\frac{4\sqrt{19}}{\sqrt{3}}
.
Решение. а) Если V
— объём пирамиды, S
— её полная поверхность, а r
— радиус вписанной сферы, то r=\frac{3V}{S}
(см. задачу 7185). Объёмы пирамид ABCM
и ABDM
с общим основанием ABM
и равными высотами, опущенными на это основание, равны (вершины C
и D
равноудалены от плоскости AMB
); кроме того S_{\triangle AMC}=S_{\triangle AMD}
и S_{\triangle BMC}=S_{\triangle BMD}
(см. задачу 3001). Значит, равенство сфер, вписанных в пирамиды ABCM
и ABDM
, эквивалентно условию S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}
, или равенству высот CP
и DK
, проведённых к общей стороне AB
треугольников ABC
и ABD
.
Пусть сторона правильного треугольника ABC
равна a
, а DH
— высота пирамиды ABCD
. Объём пирамиды ABCD
равен \frac{100}{3\sqrt{3}}
, а её высота равна 4. Значит, площадь основания пирамиды равна \frac{25}{\sqrt{3}}
, т. е. \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{25}{\sqrt{3}}
, откуда AB=a=\frac{10}{\sqrt{3}}
, а CP=\frac{a\sqrt{3}}{2}=5
. Тогда и DK=5
.
По теореме о трёх перпендикулярах HK\perp AB
, поэтому \angle DKH=\alpha
— линейный угол двугранного угла при ребре AB
данной пирамиды. Из прямоугольного треугольника AKD
находим, что KH=3
, т. е. точка H
находится на расстоянии 3 от прямой AB
(H
лежит на одной из двух прямых, параллельных AB
, на расстоянии 3 от неё). Следовательно, \alpha=\arccos\left(\pm\frac{3}{5}\right)
.
б) При дополнительном условии точка H
лежит на луче CB
(см. задачу 7710), при этом \frac{BH}{BC}=\frac{KH}{CP}=\frac{3}{5}
, откуда
CH=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}\cdot\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}~\mbox{или}~CH=\frac{8}{5}BC=\frac{16}{\sqrt{3}}.
Из треугольника CDH
получаем,
CD=\sqrt{CH^{2}+HD^{2}}=\sqrt{\frac{16}{3}+16}=\frac{8}{\sqrt{3}},
или
CD=\sqrt{CH^{2}+HD^{2}}=\sqrt{\frac{256}{3}+16}=\frac{4\sqrt{19}}{\sqrt{3}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2017, 11 класс, билет 2, задача 7