14102. Дана правильная призма KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
с основанием KLMN
. Плоскости \alpha
и \beta
перпендикулярны прямой L_{1}N
и проходят через вершины K
и N_{1}
соответственно. Пусть A
и B
соответственно — точки пересечения плоскостей \alpha
и \beta
с диагональю L_{1}N
, при этом AN\lt BN
.
а) Найдите отношение L_{1}B:AN
.
б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса \frac{1}{2}
касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей \alpha
и \beta
. Найдите отрезок L_{1}N
и объём призмы KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
.
Ответ. а) 2:1
; б) L_{1}N=\frac{1}{2}(1+\sqrt{13})
, V=\frac{1}{2}\sqrt{6+2\sqrt{13}}
.
Решение. а) По теореме о трёх перпендикулярах KM\perp M_{1}N
, значит прямая KM
лежит в плоскости \alpha
, проходящей через вершину K
перпендикулярно M_{1}N
. Тогда плоскость \alpha
проходит через через центр O
грани KLMN
. Отрезки L_{1}B
и NA
— проекции параллельных отрезков N_{1}L_{1}
и NO
на прямую L_{1}N
, причём N_{1}L_{1}=2NO
. Следовательно,
L_{1}B:AN=N_{1}L_{1}:NO=2:1.
б) Поскольку сфера радиуса r=\frac{1}{2}
касается всех боковых граней призмы, её проекция на основание есть окружность, вписанная в это основание. Значит, KL=2r=6
. Кроме того, \alpha
и \beta
— это две параллельные плоскости, касающиеся сферы, поэтому расстояние между ними равно диаметру сферы, т. е. 1, а так как L_{1}N\perp\alpha
, то это расстояние равно длине отрезка AB
. Значит, AB=6
.
Обозначим L_{1}N=d
. Поскольку N_{1}B
— высота прямоугольного треугольника L_{1}N_{1}N
, проведённая из вершины прямого угла,
L_{1}B=\frac{L_{1}N_{1}^{2}}{L_{1}N}=\frac{(\sqrt{2})^{2}}{d}=\frac{2}{d}
(см. задачу 2728), откуда
NA=\frac{1}{2}L_{1}B=\frac{1}{d},~AB=L_{1}N-L_{1}B-NA=d-\frac{2}{d}-\frac{1}{d}=d-\frac{3}{d}.
Получаем уравнение d-\frac{3}{d}=1
, или d^{2}-d-3=0
, из которого находим, что d=\frac{1+\sqrt{13}}{2}
(так как d\gt0
).
Пусть высота данной призмы равна h
, а объём призмы равен V
. Тогда
h=LL_{1}=\sqrt{L_{1}N^{2}-NL^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}(14+2\sqrt{13})-2}=\frac{1}{2}\sqrt{6+2\sqrt{13}},
V=KL^{2}\cdot h=1\cdot\frac{1}{2}\sqrt{6+2\sqrt{13}}=\frac{1}{2}\sqrt{6+2\sqrt{13}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2016, 11 класс, билет 10, задача 7