14103. Дана правильная призма ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
. Плоскости \alpha
и \beta
перпендикулярны прямой B_{1}D
и проходят через вершины A
и D_{1}
соответственно. Пусть F
и H
соответственно — точки пересечения плоскостей \alpha
и \beta
с диагональю B_{1}D
, при этом DF\lt DH
.
а) Найдите отношение B_{1}D:DF
.
б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса \frac{3}{2}
касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей \alpha
и \beta
. Найдите отрезок B_{1}D
и объём призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Ответ. а) 2:1
; б) B_{1}D=\frac{3}{2}(1+\sqrt{13})
, V=\frac{27}{2}\sqrt{6+2\sqrt{13}}
.
Указание. См. задачи 14101 и 14102.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2016, 11 класс, билет 11, задача 7