14105. На ребре AA_{1}
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
взята такая точка T
, что AT:A_{1}T=4:1
. Точка T
— вершина конуса, на окружности основания которого лежат три вершины призмы.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что BB_{1}=5
. Найдите объём конуса.
Ответ. а) \sqrt{\frac{5}{3}}
; б) V=\frac{1280\pi}{29\sqrt{29}}
.
Решение. Три вершины призмы лежат на окружности основания конуса, значит три вершины призмы равноудалены от точки T
, т. е. три из шести отрезков TA
, TB
, TC
, TA_{1}
, TB_{1}
, TC_{1}
равны между собой. Заметим, что TB_{1}=TC_{1}\lt TC=TB
. Кроме того, TB\gt TA
и TB_{1}\gt TA_{1}
. Из этих неравенств следует, что отрезки TB
и TC
самые длинные, а отрезок TA_{1}
— самый короткий. Значит, равны между собой отрезки TA
, TB_{1}
и TC_{1}
.
а) Обозначим TA_{1}=x
. Тогда TB_{1}=TA=4x
. По теореме Пифагора
A_{1}B_{1}=\sqrt{TB_{1}^{2}-TA_{1}^{2}}=\sqrt{16x^{2}-x^{2}}=x\sqrt{15}.
Следовательно,
\frac{AA_{1}}{A_{1}B_{1}}=\frac{5x}{x\sqrt{15}}=\frac{5}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{5}{3}}.
б) Из треугольника A_{1}B_{1}A
по теореме Пифагора получаем, что
AB_{1}=\sqrt{AA_{1}^{2}+A_{1}B_{1}^{2}}=\sqrt{25x^{2}+15x^{2}}=2x\sqrt{10}.
Радиус основания конуса — это радиус R
окружности, описанной около треугольника AB_{1}C_{1}
со сторонами
AC_{1}=AB_{1}=2x\sqrt{10},~B_{1}C_{1}=x\sqrt{15}.
Пусть AH
—высота этого треугольника. Тогда
AH=\sqrt{AB_{1}^{2}-B_{1}H^{2}}=\sqrt{40x^{2}-\frac{15}{4}x^{2}}=\frac{x\sqrt{145}}{2},
S_{\triangle AB_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}\cdot AH=\frac{1}{2}x\sqrt{15}\cdot\frac{x\sqrt{145}}{2}=\frac{5x^{2}\sqrt{87}}{4}.
Следовательно (см. задачу 4259),
R=\frac{AC_{1}\cdot AB_{1}\cdot B_{1}C_{1}}{4S_{\triangle AB_{1}C_{1}}}=\frac{2x\sqrt{10}\cdot2x\sqrt{10}\cdot x\sqrt{15}}{4\cdot\frac{5x^{2}\sqrt{87}}{4}}=\frac{8x\sqrt{5}}{\sqrt{29}}.
Образующая конуса — отрезок TA=4x
. Пусть h
— его высота, V
—объём. Тогда
h=\sqrt{TA^{2}-R^{2}}=\sqrt{16x^{2}-\frac{320x^{2}}{29}}=\frac{12x}{\sqrt{29}},
V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{320x^{2}}{29}\cdot\frac{12x}{\sqrt{29}}=\frac{1280\pi x^{3}}{29\sqrt{29}},
а так как BB_{1}=5x=5
, то x=1
, следовательно,
V=\frac{1280\pi}{29\sqrt{29}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2015, 11 класс, билет 1, задача 5