14106. На ребре BB_{1}
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
взята такая точка T
, что BT:B_{1}T=2:5
. Точка T
— вершина конуса, на окружности основания которого лежат три вершины призмы.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что CC_{1}=7
. Найдите объём конуса.
Ответ. а) \sqrt{\frac{7}{3}}
; б) V=\frac{3500\pi}{37\sqrt{37}}
.
Решение. Три вершины призмы лежат на окружности основания конуса, значит три вершины призмы равноудалены от точки T
, т. е. три из шести отрезков TA
, TB
, TC
, TA_{1}
, TB_{1}
, TC_{1}
равны между собой. Заметим, что TA_{1}=TC_{1}\gt TA=TC
. Кроме того, TA\gt TB
и TA_{1}\gt TB_{1}
. Из этих неравенств следует, что отрезки TA_{1}
и TC_{1}
самые длинные, а отрезок TB
— самый короткий. Значит, равны между собой отрезки TA
, TC
и TB_{1}
.
а) Пусть TB_{1}=5x=TA=TC=5x
, TB=2x
. По теореме Пифагора
AB=\sqrt{TA^{2}-TB^{2}}=\sqrt{25x^{2}-4x^{2}}=x\sqrt{21}.
Следовательно,
\frac{BB_{1}}{AB}=\frac{7x}{x\sqrt{21}}=\frac{7}{\sqrt{21}}=\sqrt{\frac{7}{3}}.
б) Из треугольника BB_{1}A
по теореме Пифагора получаем, что
AB_{1}=\sqrt{BB_{1}^{2}+AB^{2}}=\sqrt{49x^{2}+21x^{2}}=x\sqrt{70}.
Радиус основания конуса — это радиус R
окружности, описанной около треугольника AB_{1}C
со сторонами
AB_{1}=CB_{1}=x\sqrt{70},~AC=x\sqrt{21}.
Пусть B_{1}H
—высота этого треугольника. Тогда
B_{1}H=\sqrt{AB_{1}^{2}-AH^{2}}=\sqrt{70x^{2}-\frac{21}{4}x^{2}}=\frac{x\sqrt{259}}{2},
S_{\triangle AB_{1}C}=\frac{1}{2}AC\cdot B_{1}H=\frac{1}{2}x\sqrt{21}\cdot\frac{x\sqrt{259}}{2}=\frac{7x^{2}\sqrt{111}}{4}.
Следовательно (см. задачу 4259),
R=\frac{AB_{1}\cdot CB_{1}\cdot AC}{4S_{\triangle AB_{1}C}}=\frac{x\sqrt{70}\cdot x\sqrt{70}\cdot x\sqrt{21}}{4\cdot\frac{7x^{2}\sqrt{111}}{4}}=\frac{10x\sqrt{7}}{\sqrt{37}}.
Образующая конуса — отрезок TA=5x
. Пусть h
— его высота, V
—объём. Тогда
h=\sqrt{TA^{2}-R^{2}}=\sqrt{25x^{2}-\frac{700x^{2}}{37}}=\frac{15x}{\sqrt{37}},
V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{700x^{2}}{37}\cdot\frac{15x}{\sqrt{37}}=\frac{3500\pi x^{3}}{37\sqrt{37}},
а так как BB_{1}=7x=7
, то x=1
, следовательно,
V=\frac{3500\pi}{37\sqrt{37}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2015, 11 класс, билет 2, задача 5