14125. На ребре CC_{1}
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
выбрана точка M
так, что центр сферы, описанной около пирамиды MAA_{1}B_{1}B
, лежит в грани AA_{1}B_{1}B
. Известно, что радиус сферы, описанной около пирамиды MABC
, равен 5, а ребро основания призмы равно 4\sqrt{3}
. Найдите:
а) отношение объёма пирамиды MAA_{1}B_{1}B
к объёму призмы;
б) отрезок MC
;
в) площадь полной поверхности призмы.
Ответ. а) V_{MAA_{1}B_{1}B}{V}=2:3
, б) MC=6
, в) S=144\sqrt{3}
.
Решение. Пусть K
— центр грани ABC
; L
— середина ребра AB
; Q
— центр сферы, описанной около пирамиды MAA_{1}B_{1}B
(т. е. центр грани AA_{1}B_{1}B
); O
— центр сферы, описанной около пирамиды MABC
.
а) Сложив равенства
\frac{V_{MABC}}{V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot MC}{S_{\triangle ABC}\cdot CC_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{MC}{CC_{1}},
\frac{V_{MA_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot MC_{1}}{S_{\triangle ABC}\cdot CC_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{MC_{1}}{CC_{1}},
получим
\frac{V_{MABC}+V_{MA_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{MC+MC_{1}}{CC_{1}}=\frac{1}{3}.
Значит, объём пирамиды MAA_{1}B_{1}B
составляет две трети объёма призмы.
б) Из равностороннего треугольника ABC
находим, что
CL=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=6,~CK=\frac{2}{3}CL=4.
Точка O
— пересечение перпендикуляра к плоскости основания ABC
, восставленного из центра K
, и плоскости, проходящей через середину отрезка CM
перпендикулярно CM
(см. задачи 9056 и 8171). Рассмотрим прямоугольную трапецию CKOM
. В ней известны стороны, CK=4
, OM=5
и диагональ OC=OM=5
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCK
находим, что OK=3
.
Опустим из точки O
перпендикуляр OH
на отрезок MC
. Тогда
MC=2HC=2OK=6.
в) Обозначим BB_{1}=h
. Тогда
QL=\frac{h}{2},~QB^{2}=QL^{2}+BL^{2}=\frac{h^{2}}{4}+12.
Из вершины Q
прямоугольной трапеции CMQL
опустим перпендикуляр QP
на CM
. Тогда
QP=CL=6,~MP=|MC-CP|=|MC-QL|=\left|6-\frac{h}{2}\right|,
QM^{2}=QP^{2}+MP^{2}=36+\left(6-\frac{h}{2}\right)^{2}.
Отрезки QB
и QM
равны как радиусы сферы, описанной около пирамиды MAA_{1}B_{1}B
. Из уравнения
\frac{h^{2}}{4}+12=36+\left(6-\frac{h}{2}\right)^{2}
находим, что h=10
. Тогда площадь поверхности призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна
2S_{\triangle ABC}+3S_{AA_{1}B_{1}B}=2\cdot\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{3}+3AB\cdot BB_{1}=
=2\cdot\frac{(4\sqrt{3})^{2}\cdot\sqrt{3}}{4}+3\cdot4\sqrt{3}\cdot10=144\sqrt{3}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2012, 11 класс, вариант Ш, задача 6