14130. Рассматриваются всевозможные правильные треугольные пирамиды, апофема которых равна a
.
а) Найдите наибольший возможный объём рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объёма найдите угол между соседними боковыми гранями.
Ответ. а) V=\frac{2a^{3}}{3}
, б) \gamma=120^{\circ}
.
Решение. Первый способ. а) Пусть PO
— высота правильной треугольной пирамиды PABC
, K
— середина ребра AC
. Тогда PK=a
. Пусть \angle OKP=\beta
. Тогда
PO=a\sin\beta,~KO=a\cos\beta,~KO=\frac{AC}{2\sqrt{3}},
откуда
AC=2a\sqrt{3}\cos\beta,~S_{\triangle ABC}=\frac{AC^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4a^{2}\cos^{2}\beta\cdot3\sqrt{3}}{4}=3a^{2}\sqrt{3}\cos^{2}\beta,
V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot PO=\frac{1}{3}\cdot3a^{2}\sqrt{3}\cos^{2}\beta\cdot a\sin\beta=a^{3}\sqrt{3}(\sin\beta-\sin^{3}\beta).
Обозначим t=\sin\beta
и рассмотрим функцию f(t)=t-t^{3}
на промежутке 0\lt t\lt1
. Поскольку
f'(t)=1-3t^{2}=(1-t\sqrt{3})(1+3t\sqrt{3}),
единственная критическая точка на промежутке 0\lt t\lt1
— это точка \frac{1}{\sqrt{3}}
. Для 0\lt t\lt\frac{1}{\sqrt{3}}
производная положительна, поэтому функция возрастает; для \frac{1}{\sqrt{3}}\lt t\lt1
производная отрицательна, поэтому функция убывает. Следовательно, в точке\frac{1}{\sqrt{3}}
функция достигает своего наибольшего значения на промежутке 0\lt t\lt1
, причём
f_{\max}=f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}.
Следовательно, наибольший объём рассматриваемых пирамид достигается при \sin\beta=\frac{1}{\sqrt{3}}
, т. е. при \beta=\arcsin\frac{1}{\sqrt{3}}
, и равен a^{3}\sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{2}{3}a^{3}
.
В этом случае \cos\beta=\sqrt{\frac{2}{3}}
.
б) Пусть KH
— перпендикуляр к ребру PB
. Тогда, так как KH\perp PB
и AC\perp PB
(по теореме о трёх перпендикулярах), то плоскость AHC
перпендикулярна прямой PB
— ребру двугранного угла между боковыми гранями APD
и CPB
пирамиды PABC
. Значит, \angle AHC=\gamma
— линейный угол этого двугранного угла.
Из треугольника BKP
находим (см. задачу 1967), что
KH=\frac{BK\cdot PO}{PB}=\frac{\frac{AC\sqrt{3}}{2}\cdot PO}{PB}=\frac{3a\cos\beta\cdot a\sin\beta}{\sqrt{a^{2}\sin^{2}\beta+4a^{2}\cos^{2}\beta}}=
=\frac{3a\cos\beta\sin\beta}{\sqrt{\sin^{2}\beta+4\cos^{2}\beta}}=\frac{3a\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{1}{3}+4\cdot\frac{2}{3}}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Тогда
\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{AK}{KH}=\frac{\frac{1}{2}AC}{KH}=\frac{a\sqrt{3}\cos\beta}{\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{a\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}.
Следовательно, \frac{\gamma}{2}=60^{\circ}
, а \gamma=120^{\circ}
.
Второй способ. а) Пусть PO
— высота правильной треугольной пирамиды PABC
, K
— середина ребра AC
. Тогда PK=a
. Обозначим AC=x
. Тогда
PO=\sqrt{PK^{2}-OK^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{x^{2}}{12}}.
Значит,
V_{PABC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{a^{2}-\frac{x^{2}}{12}}=\frac{1}{12}\sqrt{x^{4}\left(3a^{2}-\frac{x^{2}}{4}\right)}=
=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x^{2}}{8}\cdot\frac{x^{2}}{8}\left(3a^{2}-\frac{x^{2}}{4}\right)}\leqslant\frac{2}{3}\sqrt{\left(\frac{\frac{x^{2}}{8}+\frac{x^{2}}{8}+\left(3a^{2}-\frac{x^{2}}{4}\right)}{3}\right)^{3}}=
=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{27a^{6}}{27}}=\frac{2}{3}a^{3},
причём равенство достигается, если \frac{x^{2}}{8}=3a^{2}-\frac{x^{2}}{4}
, т. е. при x=2a\sqrt{2}
. Следовательно, V_{\max}=\frac{2}{3}a^{3}
.
б) Пусть KH
— перпендикуляр к ребру PB
. Тогда, так как KH\perp PB
и AC\perp PB
(по теореме о трёх перпендикулярах), то плоскость AHC
перпендикулярна прямой PB
— ребру двугранного угла между боковыми гранями APD
и CPB
пирамиды PABC
. Значит, \angle AHC=\gamma
— линейный угол этого двугранного угла.
Из треугольников POK
, APK
, PKB
и AKH
находим, что
PO=\sqrt{PK^{2}-OK^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{2}{3}a^{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}},
PB=PA=\sqrt{PK^{2}+AK^{2}}=\sqrt{a^{2}+2a^{2}}=a\sqrt{3},
KH=\frac{BK\cdot PO}{PB}=\frac{\frac{2a\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}},
\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{AK}{KH}=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}.
Следовательно, \frac{\gamma}{2}=60^{\circ}
, а \gamma=120^{\circ}
.