14153. Точки A
, B
и C
делят на три равные дуги окружность основания прямого конуса с вершиной S
.
а) Докажите, что плоскости SAB
и SAC
наклонены к плоскости основания конуса под одинаковыми углами.
б) Найдите угол между плоскостями SAB
и SAC
, если радиус основания конуса равен 2\sqrt{3}
, а высота равна \sqrt{13}
.
Ответ. \arccos\frac{7}{32}
.
Решение. а) Треугольник ABC
правильный, SA
, SB
и SC
— образующие конуса. Значит, SABC
— правильная треугольная пирамида, и её боковые грани SAB
и SAC
наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.
б) Основания высот равных равнобедренных треугольников ASB
и ACS
, опущенных на общую боковую сторону SA
совпадают. Обозначим его буквой H
. По теореме синусов находим, что
AB=2OA\sin60^{\circ}=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6.
Образующая конуса равна
SA=\sqrt{SO^{2}+OA^{2}}=\sqrt{13+12}=5.
Пусть SK
— высота равнобедренного треугольника SAB
. Тогда
SK=\sqrt{SA^{2}-AK^{2}}=\sqrt{25-9}=4,
а так как AB\cdot SK=SA\cdot BH
(см. задачу 1967), то
BH=\frac{AB\cdot SK}{SA}=\frac{6\cdot4}{5}=\frac{24}{5}.
Треугольники ASB
и ASC
равны, поэтому HB=HC
. По теореме косинусов
\cos\angle BHC=\frac{BH^{2}+HC^{2}-BC^{2}}{2BH\cdot HC}=\frac{2BH^{2}-BC^{2}}{2BH^{2}}=\frac{2\left(\frac{24}{5}\right)^{2}-36}{2\left(\frac{24}{5}\right)^{2}}=\frac{7}{32}.
Следовательно, \angle BHC=\arccos\frac{7}{32}
.