14157. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на рёбрах A_{1}B_{1}
, B_{1}C_{1}
и AD
выбраны точки K
, M
, N
соответственно, причём A_{1}K:KB_{1}=C_{1}M:MB_{1}=DN:NA=1:2
.
а) Докажите, что прямая BD_{1}
перпендикулярна плоскости KMN
.
б) Найдите расстояние от точки A
до плоскости KMN
, если ребро куба равно 5.
Ответ. \frac{10\sqrt{3}}{9}
.
Решение. а) Пусть T
— точка пересечения прямых KM
и A_{1}D_{1}
. Четырёхугольник MTA_{1}C_{1}
параллелограмм, так как MT\parallel A_{1}C_{1}
и A_{1}T\parallel C_{1}M
. Значит,
A_{1}T=C_{1}M=\frac{1}{3}B_{1}C_{1}=\frac{1}{3}AD.
Пусть P
— точка пересечения прямых TN
и AA_{1}
, лежащих в плоскости грани AA_{1}D_{1}D
. Тогда треугольники A_{1}PT
и APN
подобны с коэффициентом
\frac{A_{1}T}{AN}=\frac{\frac{1}{3}AD}{\frac{2}{3}AD}=\frac{\frac{1}{3}AD}{AD}=\frac{1}{2},
поэтому
\frac{A_{1}P}{PA}=\frac{1}{2}=\frac{DN}{NA}.
Значит, PN\parallel DA_{1}
. Кроме того, MK\parallel A_{1}C_{1}
, так как
\frac{B_{1}M}{MC_{1}}=\frac{B_{1}K}{KA_{1}}=\frac{2}{3}.
Таким образом, пересекающиеся прямые PN
и KM
секущей плоскости соответственно параллельны прямым DA_{1}
и A_{1}C_{1}
плоскости DA_{1}C_{1}
. Тогда по признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны, а так как прямая BD_{1}
перпендикулярна плоскости DA_{1}C_{1}
(см. задачу 7251б), то эта прямая перпендикулярна и секущей плоскости.
б) Обозначим точку пересечения диагоналей квадрата ABCD
буквой O
. Прямая AC
параллельна прямой LN
, а следовательно, и плоскости KMN
. Значит, расстояние от точки A
до плоскости KMN
равно расстоянию от точки O
до этой плоскости. Перпендикуляр OH
, опущенный из точки O
на плоскость KMN
, параллелен прямой BD_{1}
(так как прямая BD_{1}
тоже перпендикулярна плоскости KMN
) и лежит в плоскости BB_{1}D
.
Треугольники BD_{1}D
и OHG
подобны, поэтому
\frac{OH}{BD}=\frac{OG}{BD_{1}},~BD=AB\sqrt{2}=5\sqrt{2},~OG=\frac{1}{2}BD-DG=\frac{1}{3}BD=\frac{5\sqrt{2}}{3},
BD_{1}=5\sqrt{3}.
Следовательно,
OH=\frac{BD\cdot OG}{BD_{1}}=\frac{5\sqrt{2}\cdot5\sqrt{2}}{5\sqrt{3}\cdot3}=\frac{10\sqrt{3}}{9}.