14162. Точка O
— центр основания ABCDEF
правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF
. Точки K
, L
, M
, T
— середины отрезков AF
, SF
, SD
, MK
соответственно.
а) Докажите, что точка T
лежит на отрезке LO
.
б) Найдите CT
, если сторона основания пирамиды равна 4, а высота пирамиды равна 48.
Ответ. 13.
Решение. а) В треугольнике FSD
отрезок LM
— средняя линия, поэтому LM\parallel FD
и LM=\frac{1}{2}FD
.
Плоскости KLM
и ABC
пересекаются по прямой KN
, которая параллельна прямой LM
и проходит через точку O
(см. задачу 8003). Поскольку KN=FD
, то LM=\frac{1}{2}KN
. Таким образом, LM=KO
, а T
— точка пересечения диагоналей параллелограмма KLMO
. Следовательно, T
— середина LO
, а значит, точка T
лежит на LO
.
б) Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SCF
, в которой лежит отрезок CT
. В треугольнике SCF
отрезок LO
— средняя линия. Проведём перпендикуляр TH
из точки T
на прямую FC
. Треугольники TOH
и SCO
подобны, следовательно,
TH=\frac{1}{4}SO,~HO=\frac{1}{4}OC,~HC=HO+OC=\frac{5}{4}OC=\frac{5}{4}BC,
TC=\sqrt{TH^{2}+HC^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}SO^{2}+\frac{25}{16}BC^{2}}=\sqrt{144+25}=13.