14163. В основании пирамиды DABCD
лежит трапеция ABCD
. Основание AD
вдвое больше основания BC
. На ребре SC
взята точка M
, для которой SM:MC=2:1
. Сечение, проходящее через точки A
, B
и M
, пересекает ребро SD
в точке N
.
а) Докажите, что SN=DN
.
б) Найдите отношение объёмов тетраэдра SAMN
и пирамиды ACDNM
.
Ответ. 1:2
.
Решение. а) Пусть K
— точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции. Точка K
лежит в плоскости сечения, значит, прямая KM
тоже лежит в плоскости сечения, и KM
пересекает ребро SD
в точке N
.
Отрезок BC
— средняя линия треугольника AKD
, значит, C
— середина KD
, поэтому M
— точка пересечения медиан треугольника KSD
, а отрезок KN
— медиана. Следовательно, SN=DN
.
б) Пусть объём пирамиды SACD
равен V
. Тогда (см. задачу 7244)
V_{SAMN}=\frac{SN}{SD}\cdot\frac{SM}{SC}V_{SACD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}V=\frac{1}{3}V,
V_{ACDNM}=V-V_{SAMN}=\frac{2}{3}V.
Следовательно, V_{SAMN}:V_{ACDNM}=1:2
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2020