14164. В основании пирамиды SABCD
лежит параллелограмм. На боковых рёбрах SA
, SC
и SD
отмечены точки K
, L
и M
соответственно, причём SK:KA=SL:LC=2:1
и SM=MD
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью KML
проходит через вершину B
.
б) Найдите объём пирамиды BAKMD
, если площадь параллелограмма ABCD
равна 15, а высота пирамиды SABCD
равна 9.
Ответ. 15.
Решение. а) Пусть прямые AD
и MK
пересекаются в точке P
, прямые CD
и ML
— в точке Q
, а прямая, проведённая через точку A
параллельно PM
, пересекает ребро SD
в точке F
. Тогда FM:MD=FM:MS=AK:KS=1:2
, поэтому F
— середина MD
, а точка A
— середина DP
. Аналогично, C
—середина DQ
, а так как AC
— средняя линия треугольника PDQ
, то PQ\parallel AC\parallel PB
, поэтому PB\parallel PQ
. Значит, точка B
лежит на прямой PQ
. Следовательно, сечение пирамиды плоскостью KML
проходит через точку B
.
б) Пусть объём пирамиды SABCD
равен V
. Тогда
V_{SABD}=V_{SBCD}=\frac{1}{2}V.
Из равенства
V_{SBKM}=\frac{SM}{SD}\cdot\frac{SK}{SA}V_{SABD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{1}{6}V
(см. задачу 7244) следует, что
V_{BAKMD}=V_{SABD}-V_{SBKM}=\frac{1}{2}V-\frac{1}{6}V=\frac{1}{3}V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot15\cdot9=15.