14173. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD
сторона основания ABCD
равна 8. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA
и MB
проведена плоскость \alpha
, параллельная ребру MC
.
а) Докажите, что сечение треугольной пирамиды MABC
плоскостью \alpha
— параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC
плоскостью \alpha
.
Ответ. 8\sqrt{2}
.
Решение. а) Пусть точки Q
и K
— середины рёбер MA
и MB
соответственно. Плоскость \alpha
пересекает плоскость BMC
прямой l
параллельной MC
(см. задачу 8004). Пусть L
— точка пересечения прямой l
с ребром BC
, а O
— центр квадрата ABCD
.
Отрезок KQ
— средняя линия треугольника AMB
, а LO
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому KQ=\frac{1}{2}AB=LO
и KQ\parallel AB\parallel LO
. Противоположные стороны KQ
и LO
четырёхугольника QKLO
равны и параллельны, следовательно, QKLO
— параллелограмм.
б) Отметим середину F
отрезка QK
. Прямая QK
перпендикулярна пересекающимся прямым FM
и MO
плоскости MOF
, поэтому прямая QK
перпендикулярна этой плоскости, а значит, QK\perp OF
. Следовательно, OF
— высота параллелограмма QKLO
.
Пусть N
и G
— середины рёбер AB
и BC
соответственно. Поскольку по условию грани CMD
и AMB
перпендикулярны, сечение пирамиды MABCD
плоскостью MOF
— прямоугольный равнобедренный треугольник NMG
, MN=MG=\frac{1}{\sqrt{2}}AB
. Отрезок OF
— медиана прямоугольного треугольника MON
, проведённая к его гипотенузе MN
, поэтому
OF=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}AB=2\sqrt{2}.
Тогда площадь параллелограмма QKLO
равна
OL\cdot OF=4\cdot2\sqrt{2}=8\sqrt{2}.