14177. Точка O
— центр боковой грани ABB_{1}A_{1}
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основаниями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
. Плоскость \alpha
содержит прямую OC
и пересекает ребро BB_{1}
в точке E
, не совпадающей с концами отрезка BB_{1}
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
разбивает пирамиду на части, объёмы которых отличаются в два раза.
б) Найдите объём большей из этих частей, если призма правильная, а её сечение плоскостью \alpha
— равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой \sqrt{2}
и прямым углом CEO
.
Ответ. \frac{1}{3}
.
Решение. а) Пусть S
— площадь параллелограмма ABB_{1}A_{1}
, h
— расстояние от ребра CC_{1}
до плоскости ABB_{1}A_{1}
. Одна из частей, о которых идёт речь в задаче, — четырёхугольная пирамида с вершиной C
. Основание этой пирамиды — одна из двух равных частей, на которые плоскость \alpha
, проходящая через центр O
параллелограмма ABB_{1}A_{1}
, разбивает этот параллелограмм. Объём этой пирамиды равен \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}Sh
, а так как объём призмы равен \frac{1}{2}Sh
(см. задачу 7237), то объём пирамиды равен \frac{1}{3}
объёма призмы, а объём оставшейся части призмы — \frac{2}{3}
объёма призмы. Следовательно, объём пирамиды вдвое меньше объёма оставшейся части призмы.
б) Поскольку призма правильная, её основания — равносторонние треугольники, боковые грани — прямоугольники, а расстояние h
от ребра CC_{1}
до плоскости грани ABB_{1}A_{1}
равно высоте основания.
Пусть плоскость \alpha
пересекает ребро AA_{1}
в точке F
. Обозначим AB=BC=CA=x
, BE=a
, B_{1}E=b
. Тогда AF=b
и A_{1}F=a
. По условию CF=\sqrt{2}
, а раз EF=EC
и \angle FEC=90^{\circ}
, то EF=EC=1
. Тогда из прямоугольных треугольников AFC
и BEC
получим равенства
b^{2}+x^{2}=2~\mbox{и}~a^{2}+x^{2}=1
соответственно, а из прямоугольной трапеции ABEF
получим (a-b)^{2}+x^{2}=1
. Из двух последних равенств следует, что a-b=a
или a-b=-a
(но b\ne0
), поэтому b=2a
. Теперь первое равенство запишется как 4a^{2}+x^{2}=2
, а после вычитания из него второго получим 3a^{2}=1
, откуда
a=\frac{1}{\sqrt{3}},~AA_{1}=a+b=3a=\sqrt{3}.
Кроме того,
x^{2}=1-a^{2}=\frac{2}{3}.
Тогда объём призмы равен
\frac{1}{2}S\cdot h=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AA_{1}\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot x(a+b)\cdot\frac{x\sqrt{3}}{2}=
=\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}(a+b)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{1}{2},
а искомые части составляют треть и две трети от него. Следовательно, объём большей из этих частей равен \frac{1}{3}
.