14187. Через диагональ прямоугольного параллелепипеда и точку, лежащую на боковом ребре, не пересекающем эту диагональ, провели плоскость так, чтобы площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью была наименьшей. Найдите объём параллелепипеда, если известно, что диагонали сечения равны 3 и \sqrt{3}
, а угол между ними равен 30^{\circ}
.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{2}
.
Решение. Пусть секущая плоскость проходит через точки P
и Q
, лежащие на противоположных боковых рёбрах соответственно DD_{1}
и BB_{1}
данного прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Поскольку плоскости граней CC_{1}D_{1}D
и AA_{1}B_{1}B
параллельны, то сечение APC_{1}Q
— параллелограмм. Если AB=a
, BC=b
, DD_{1}=z
, PD_{1}=t
, то BQ=D_{1}P=t
, а так как
AC_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}~\mbox{и}~PQ^{2}=a^{2}+b^{2}+(z-2t)^{2},
то AC_{1}\gt PQ
. Значит, AC_{1}=3
и PQ=\sqrt{3}
.
Прямая AC
— ортогональная проекция прямой AC_{1}
на плоскость основания ABCD
, значит, расстояние между скрещивающимися прямыми AC_{1}
и DD_{1}
равно расстоянию DM
от точки D
до прямой AC
(см. задачу 8406). Тогда, если PH
— общий перпендикуляр прямых AC_{1}
и DD_{1}
, то H
— точка пересечения прямой, проходящей через точку M
параллельно DD_{1}
, с диагональю AC_{1}
.
Пусть O
— середина диагонали AC_{1}
(центр параллелепипеда), а для определённости точка H
лежит между точками O
и C_{1}
. Из прямоугольного треугольника POH
с углом 30^{\circ}
при вершине O
находим, что
PH=\frac{1}{2}PO=\frac{\sqrt{3}}{4},~OH=\frac{\sqrt{3}}{2}PO=\frac{3}{4}.
Тогда
\frac{CM}{MA}=\frac{C_{1}H}{AH}=\frac{OC_{1}-OH}{AO+OH}=\frac{\frac{3}{2}-\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{4}}=\frac{1}{3}.
Положим CM=x
, MA=3x
. Отрезок DM
— высота прямоугольного треугольника ADC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
PH^{2}=DM^{2}=CM\cdot MA=x\cdot3x=3x^{2},
а так как PH=\frac{\sqrt{3}}{4}
, то \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{2}=3x^{2}
, откуда
x^{2}=\frac{1}{16},~x=\frac{1}{4},~AC=4x=1.
Таким образом, PH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC_{1}
и DD_{1}
, его длина равна расстоянию между этими прямыми, а оба его конца P
и H
лежат на отрезках AC
и AC_{1}
соответственно (а не на их продолжениях). Значит, минимальное значение площади сечения достигается в этом случае (см. задачу 7423). Тогда
AC=1,~DD_{1}=CC_{1}=\sqrt{AC_{1}^{2}-AC^{2}}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2},~DM=PH=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Следовательно, если объём параллелепипеда обозначить через V
, то
V=AC\cdot DM\cdot DD_{1}=1\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2015-201, отборочный этап, задача 10, типовой вариант, 11 класс