14187. Через диагональ прямоугольного параллелепипеда и точку, лежащую на боковом ребре, не пересекающем эту диагональ, провели плоскость так, чтобы площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью была наименьшей. Найдите объём параллелепипеда, если известно, что диагонали сечения равны 3 и
\sqrt{3}
, а угол между ними равен
30^{\circ}
.
Ответ.
\frac{\sqrt{6}}{2}
.
Решение. Пусть секущая плоскость проходит через точки
P
и
Q
, лежащие на противоположных боковых рёбрах соответственно
DD_{1}
и
BB_{1}
данного прямоугольного параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Поскольку плоскости граней
CC_{1}D_{1}D
и
AA_{1}B_{1}B
параллельны, то сечение
APC_{1}Q
— параллелограмм. Если
AB=a
,
BC=b
,
DD_{1}=z
,
PD_{1}=t
, то
BQ=D_{1}P=t
, а так как
AC_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}~\mbox{и}~PQ^{2}=a^{2}+b^{2}+(z-2t)^{2},

то
AC_{1}\gt PQ
. Значит,
AC_{1}=3
и
PQ=\sqrt{3}
.
Прямая
AC
— ортогональная проекция прямой
AC_{1}
на плоскость основания
ABCD
, значит, расстояние между скрещивающимися прямыми
AC_{1}
и
DD_{1}
равно расстоянию
DM
от точки
D
до прямой
AC
(см. задачу 8406). Тогда, если
PH
— общий перпендикуляр прямых
AC_{1}
и
DD_{1}
, то
H
— точка пересечения прямой, проходящей через точку
M
параллельно
DD_{1}
, с диагональю
AC_{1}
.
Пусть
O
— середина диагонали
AC_{1}
(центр параллелепипеда), а для определённости точка
H
лежит между точками
O
и
C_{1}
. Из прямоугольного треугольника
POH
с углом
30^{\circ}
при вершине
O
находим, что
PH=\frac{1}{2}PO=\frac{\sqrt{3}}{4},~OH=\frac{\sqrt{3}}{2}PO=\frac{3}{4}.

Тогда
\frac{CM}{MA}=\frac{C_{1}H}{AH}=\frac{OC_{1}-OH}{AO+OH}=\frac{\frac{3}{2}-\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{4}}=\frac{1}{3}.

Положим
CM=x
,
MA=3x
. Отрезок
DM
— высота прямоугольного треугольника
ADC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
PH^{2}=DM^{2}=CM\cdot MA=x\cdot3x=3x^{2},~

а так как
PH=\frac{\sqrt{3}}{4}
, то
\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{2}=3x^{2}
, откуда
x^{2}=\frac{1}{16},~x=\frac{1}{4},~AC=4x=1.

Таким образом,
PH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых
AC_{1}
и
DD_{1}
, его длина равна расстоянию между этими прямыми, а оба его конца
P
и
H
лежат на отрезках
AC
и
AC_{1}
соответственно (а не на их продолжениях). Значит, минимальное значение площади сечения достигается в этом случае (см. задачу 7423). Тогда
AC=1,~DD_{1}=CC_{1}=\sqrt{AC_{1}^{2}-AC^{2}}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2},~DM=PH=\frac{\sqrt{3}}{4}.

Следовательно, если объём параллелепипеда обозначить через
V
, то
V=AC\cdot DM\cdot DD_{1}=1\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}.