14200. Через диагональ BD_{1}
правильной четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
проведена плоскость \alpha
, параллельная прямой AC
. Найдите угол между плоскостью \alpha
и плоскостью основания призмы, если AB:AA_{1}=1:\sqrt{2}
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Плоскость ABCD
проходит через прямую AC
, параллельную плоскости \alpha
, значит, прямая l
пересечения плоскостей проходит через точку B
параллельно AC
(см. задачу 8003). Поскольку DB\perp AC
, а DB
— ортогональная проекция наклонной D_{1}B
на плоскость ABC
, то DB\perp l
, и по теореме о трёх перпендикулярах D_{1}B\perp l
. Следовательно, DBD_{1}
— линейный угол искомого двугранного угла.
Положим AB=a
, DD_{1}=AA_{1}=a\sqrt{2}
. Из прямоугольного треугольника DBD_{1}
находим, что
\tg\angle DBD_{1}=\frac{DD_{1}}{DB}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1.
Следовательно, \angle DBD_{1}=45^{\circ}
.