14215. Тетраэдр ABCD
с остроугольными гранями вписан в сферу с центром O
. Прямая, проходящая через точку O
перпендикулярно плоскости ABC
, пересекает сферу в такой E
, что D
и E
лежат по разные стороны относительно плоскости ABC
. Прямая DE
пересекает плоскость ABC
в точке F
, лежащей внутри треугольника ABC
. Оказалось, что \angle ADE=\angle BDE
, AF\ne BF
и \angle AFB=80^{\circ}
. Найдите угол ACB
.
Ответ. 40^{\circ}
.
Решение. Точка E
лежит на перпендикуляре к плоскости ABC
, проходящем через центр описанной окружности треугольника ABC
, поэтому она равноудалена от вершин треугольника ABC
(см. задачу 9056), т. е. AE=BE=CE
.
Рассмотрим треугольники ADE
и BDE
. Они имеют пару равных сторон AE
и BE
, общую сторону DE
и равные по условию углы ADE
и BDE
. Значит (см. задачу 10280), эти треугольники либо равны, либо их углы DAE
и DBE
дополняют друг друга до 180^{\circ}
. Первый случай невозможен, так как тогда равны их стороны AD
и DB
, поэтому равны треугольники ADF
и BDF
(по трём сторонам), что противоречит условию AF\ne BF
. Значит,
\angle DBE=180^{\circ}-\angle DAE.
Пусть продолжение отрезка AF
за точку F
пересекает описанную сферу данного тетраэдра в точке X
. Луч AF
лежит в плоскостях ABC
и AED
, а значит, точка X
лежит на окружностях сечений сферы этими плоскостями, т. е. на описанных окружностях треугольников ABC
и AED
.
По построению точка X
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, значит, ортогональная проекция наклонной EX
на плоскость ABC
равна радиусу этой окружности, т. е. ортогональные проекции наклонных EA
и EX
, проведённые к плоскости из точки D
, равны. Следовательно, равны и сами наклонные, AE=XE
.
Сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через пересекающиеся прямые DE
и AX
,— вписанный четырёхугольник AEXD
, в котором
\angle DXE=180^{\circ}-\angle DAE=\angle DBE,
а так как AE=XE
, то E
— середина не содержащей точки D
дуги AX
описанной окружности четырёхугольника AEXD
, и значит \angle ADE=\angle XDE
.
Используя доказанные ранее равенства углов, получаем, что треугольники DBE
и DXE
равны по общей стороне DE
и двум прилежащим к ней углам.
Последовательно используя вписанность четырёхугольника ABXC
, равнобедренность треугольника BFX
и теорему о внешнем угле для треугольника BFX
, получим
\angle ACB=\angle AXB=\frac{1}{2}(\angle FXB+\angle FBX)=\frac{1}{2}\angle AFB=\frac{1}{2}\cdot80^{\circ}=40^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2017-2018, заключительный этап, задача 6, 11 класс
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2017-2018, отборочный этап, задача 6, 11 класс