14244. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. На ребре A_{1}D_{1}
выбрана точка X
, а ребре BC
выбрана точка Y
. Известно, что A_{1}X=5
, BY=3
, B_{1}C_{1}=15
. Плоскость C_{1}XY
пересекает луч DA
в точке Z
. Найдите DZ
.
Решение. Точки Y
и Z
лежат в плоскости грани ABCD
, поэтому плоскость C_{1}XY
и плоскость этой грани пересекаются по прямой YZ
. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью C_{1}Y\parallel XZ
(см. задачу 8009).
Пусть T
— точка пересечения плоскости C_{1}D_{1}Y
с прямой AD
. Тогда по той же теореме D_{1}T\parallel C_{1}Y
, поэтому D_{1}T\parallel XZ
. Значит, TZXD_{1}
— параллелограмм. Следовательно,
DZ=DT+TZ=YC+D_{1}X=(BC-BY)+(A_{1}D_{1}-A_{1}X)=
=(B_{1}C_{1}-BY)+(B_{1}C_{1}-A_{1}X)=(15-3)+(15-5)=22.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, школьный этап, задача 8, 11 класс