14249. На ребре AA'
куба ABCDA'B'C'D'
с ребром 2 отмечена точка K
. В пространстве отмечена такая точка T
, что TB=\sqrt{11}
и TC=\sqrt{15}
. Найдите высоту тетраэдра TBCK
, опущенную из вершины C
.
Ответ. 2.
Решение. Заметим, что
TB^{2}+BC^{2}=11+4=15=TC^{2},
поэтому угол TBC
прямой (см. задачу 1972). Тогда TB\perp BC
, значит, точка T
лежит в плоскости грани AA'B'B
. Значит, отрезок CB
— высота тетраэдра TBCK
, опущенная из вершины C
. Следовательно, CB=2
.
Примечание. Существуют два возможных расположения точки T
, симметричных относительно плоскости KBC
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2018-2019, XLV, школьный этап, задача 5, 11 класс