1427. Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 60^{\circ}
. Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите её радиус.
Ответ. 1.
Указание. Примените формулу a=2R\sin\alpha
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами AC=1
, AB=2
и углом CAB
, равным 60^{\circ}
. По теореме косинусов находим, что BC=\sqrt{3}
. Значит, треугольник ABC
— прямоугольный, \angle ACB=90^{\circ}
, \angle ABC=30^{\circ}
. Поскольку O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, то
\angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle CAB=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}
(см. задачу 1101). Если R
— искомый радиус, то
R=\frac{BC}{2\sin\angle BOC}=\frac{\sqrt{3}}{2\sin120^{\circ}}=1.