14284. Высота правильного тетраэдра ABCD
равна 1. Найдите радиус сферы, проходящей через вершины A
, B
и середины рёбер BC
и CD
.
Ответ. \frac{\sqrt{33}}{8}
.
Решение. Пусть AH=1
— высота тетраэдра, а ребро тетраэдра равно a
. Из равенства a\sqrt{\frac{2}{3}}=1
находим, что a=\sqrt{\frac{3}{2}}
.
Пусть M
и K
— середины рёбер BC
и CD
соответственно, O
— центр сферы искомого радиуса R
, описанной около тетраэдра ABMK
. Точка O
лежит на прямой, перпендикулярной плоскости ABD
и проходящей через центр O_{1}
окружности, описанной около треугольника BMK
(см. задачу 9056).
Заметим, что середина ребра BD
равноудалена от точек B
, M
и K
, значит, это и есть точка O_{1}
. Обозначим OO_{1}=x
. Из прямоугольного треугольника AO_{1}B
и прямоугольной трапеции AHO_{1}O
с основаниями OO_{1}=x
, AH=1
и меньшей боковой стороной HO_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2\sqrt{2}}
получаем
R^{2}=OB^{2}=OO_{1}^{2}+BO_{1}^{2}=x^{2}+\frac{a^{2}}{4}=x^{2}+\frac{3}{8},
R^{2}=OA^{2}=HO_{1}^{2}+(AH-OO_{1})^{2}=\frac{1}{8}+(1-x)^{2}.
Из уравнения
x^{2}+\frac{3}{8}=\frac{1}{8}+(1-x)^{2}
находим, что x=\frac{3}{8}
. Следовательно,
R=\sqrt{x^{2}+\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{9}{64}+\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{33}}{8}.