14285. Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра ABCD
, в котором AB=3
, \angle ADB=90^{\circ}
, \angle ACB=45^{\circ}
, а синус двугранного угла при ребре AB
равен \frac{3}{4}
.
Ответ. \frac{5}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около тетраэдра ABCD
, а O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей радиусов, описанных около граней ABC
и ADB
соответственно. Поскольку OO_{1}
и OO_{2}
— перпендикуляры к плоскостям ABC
и ADC
соответственно, то угол между этими плоскостями равен углу между прямыми OO_{1}
и OO_{2}
(см. задачу 8970). Значит, \sin\angle O_{1}OO_{2}=\frac{3}{4}
. Кроме того, O_{2}
— середина ребра AB
как центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ADB
.
Центральный угол AO_{1}B
вдвое больше соответствующего вписанного угла ACB
, т. е.
\angle AO_{1}B=2\angle ACB=90^{\circ}.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника AO_{1}B
и прямоугольного треугольника OO_{1}O_{2}
находим, что
O_{1}O_{2}=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2},~OO_{2}=\frac{O_{1}O_{2}}{\sin\angle O_{1}OO_{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}}=2.
Следовательно,
R=OA=\sqrt{OO_{2}^{2}+O_{2}A^{2}}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}.