8970. Докажите, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, соответственно перпендикулярными этим плоскостям.
Решение. По определению угол между плоскостями не может быть тупым. Рассмотрим случай острого угла. Пусть A
— точка на прямой l
пересечения плоскостей \alpha
и \beta
, AB
— прямая, лежащая в плоскости \alpha
и перпендикулярная прямой l
, C
— ортогональная проекция точки B
на плоскость \beta
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что BAC
— линейный угол рассматриваемого острого двугранного угла.
Пусть CD
— высота прямоугольного треугольника ABC
. Прямая CD
перпендикулярна пересекающимся прямым AB
и l
плоскости \alpha
, значит, прямая CD
перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, угол DCB
—это угол угол между прямыми, соответственно перпендикулярными плоскостям \alpha
и \beta
. Из прямоугольного треугольника ABC
получаем, что этот угол равен углу BAC
, т. е. углу между этими плоскостями.
Для перпендикулярных плоскостей \alpha
и \beta
утверждение очевидно (см. задачу 7710).