14288. В тетраэдре ABCD
окружности, вписанные в треугольники ABC
и ABD
, касаются ребра AB
в одной и той же точке. Докажите, что точки касания этих окружностей со сторонами AC
, BC
, AD
и BD
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть вписанная окружность (с центром O_{1}
) треугольника ABC
касается ребра AB
в точке M
, а рёбер AC
и BC
— в точках E
и F
соответственно; вписанная окружность (с центром O_{2}
) треугольника ABD
касается ребра AB
тоже в точке M
, а рёбер BD
и AD
— в точках G
и H
соответственно. Тогда
AH=AM=AE,~BG=BM=BF,~CF=CE,~DG=DH,
поэтому
\frac{DG}{GB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AH}{HD}=\frac{DG}{BF}\cdot\frac{BF}{CE}\cdot\frac{CE}{AH}\cdot\frac{AH}{DG}=1
Значит, точки E
, F
, G
и H
лежат в одной плоскости (см. примечание к задаче 9106).
В плоскости O_{1}MO_{2}
, перпендикулярной прямой AB
, восставим из точек O_{1}
и O_{2}
перпендикуляры к прямым MO_{1}
и MO_{2}
соответственно. Пусть они пересекаются в точке O
. Первый из них перпендикулярен пересекающимся прямым O_{1}M
и AB
плоскости ABC
, поэтому он перпендикулярен плоскости ABC
. Аналогично, второй перпендикулярен плоскости ABD
. Докажем, что точка O
— центр сферы, проходящей через точки E
, F
, G
и H
. Отсюда будет следовать утверждение задачи, так как тогда эти точки будут лежать на окружности сечения сферы плоскостью.
Прямоугольные треугольники OO_{1}E
и OO_{1}M
равны по двум катетам (катет OO_{1}
— общий, а O_{1}E=O_{1}M
как радиусы одной окружности). Значит, OE=OM
. Аналогично, каждый из отрезков OF
, OG
и OF
также равен OM
. Что и требовалось.