9106. Теорема Менелая для тетраэдра. Плоскость пересекает рёбра AD
, AB
, BC
и CD
тетраэдра ABCD
в точках K
, L
, M
и N
соответственно. Докажите, что \frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=1
.
Решение. Первый способ. Если прямая KL
параллельна прямой BD
, то KL
параллельна плоскости BCD
(рис. 1). В этом случае секущая плоскость пересекает плоскость BCD
по прямой MN
, параллельной прямой KL
, поэтому
\frac{BM}{MC}=\frac{BL}{LA},~\frac{DK}{KA}=\frac{DN}{NC},~
Следовательно,
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=\frac{DK}{KA}\cdot\frac{MC}{BM}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{KA}{DK}=1.
Пусть теперь секущая плоскость пересекает прямую BD
в точке X
, лежащей на продолжении ребра BD
за точку B
(рис. 2). Поскольку плоскости ABD
и BCD
пересекаются по прямой BD
, то прямые MN
и KL
пересекаются в точке X
.
Рассмотрим плоскость треугольника ABD
. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BD
. Пусть P
— точка пересечения этой прямой с прямой KL
. Из подобия треугольников AKP
и DKX
следует, что AP=DX\cdot\frac{AK}{KD}
, а из подобия треугольников ALP
и BLX
— AP=BX\cdot\frac{AL}{LB}
. Отсюда \frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}=0\frac{DX}{BX}
.
Рассмотрим плоскость треугольника BCD
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную BD
. Пусть Q
— точка пересечения этой прямой MN
. Из подобия треугольников CNQ
и DNX
находим, что CQ=DX\cdot\frac{CN}{ND}
, а из подобия треугольников CMQ
и BMX
— CQ=BX\cdot\frac{CM}{MB}
. Отсюда \frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=\frac{BX}{DX}
.
Следовательно,
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=\frac{DX}{BX}\cdot\frac{BX}{DX}=1.
Второй способ. Если прямая KL
параллельна прямой BD
, то KL
параллельна плоскости BCD
(рис. 1). В этом случае секущая плоскость пересекает плоскость BCD
по прямой MN
, параллельной прямой KL
, поэтому
\frac{BM}{MC}=\frac{BL}{LA},~\frac{DK}{KA}=\frac{DN}{NC},~
Следовательно,
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=\frac{DK}{KA}\cdot\frac{MC}{BM}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{KA}{DK}=1.
Пусть теперь секущая плоскость пересекает прямую BD
в точке X
, лежащей на продолжении ребра BD
за точку B
(рис. 2). Поскольку плоскости ABD
и BCD
пересекаются по прямой BD
, то прямые MN
и KL
пересекаются в точке X
.
По теореме Менелая (см. задачу 1622)
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BX}{XD}=1,~\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}\cdot\frac{DX}{XB}=1.
Перемножив эти равенства, получим, что
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=1.
Третий способ. Пусть расстояния от вершин A
, B
, C
, D
до секущей плоскости равны a
, b
, c
, d
соответственно. Тогда
\frac{DK}{KA}=\frac{d}{a},~\frac{AL}{LB}=\frac{a}{b},~\frac{BM}{MC}=\frac{b}{c},~\frac{CN}{ND}=\frac{c}{d}.
Следовательно,
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=\frac{d}{a}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=1.
Примечание. 1. См. также статью И.Габовича: «Теорема Менелая для тетраэдра», Квант, 1996, N6, с.34-36.
2. Очевидно обратное утверждение: если для точек K
, L
, M
и N
, лежащих на рёбрах соответственно AD
, AB
, BC
и CD
тетраэдра ABCD
, верно равенство \frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=1
, то эти четыре точки лежат в одной плоскости.