14297. Известно, что вне плоскости данного параллелограмма существует точка, равноудалённая от его сторон. Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
Решение. Пусть точка P
, лежащая вне плоскости параллелограмма ABCD
, равноудалена от его сторон, т. е. равны перпендикуляры PK
, PL
, PM
и PN
, опущенные на его стороны AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Пусть PO
— перпендикуляр к плоскости параллелограмма. Из теоремы о трёх перпендикуляров следует, что отрезки OK
, OL
, OM
и ON
перпендикулярны сторонам AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Из равенства соответствующих прямоугольных треугольников также следует, что эти отрезки равны. Значит, O
— центр вписанной окружности параллелограмма ABCD
. Тогда (см. задачу 310) AB+CD=BC+AD
, или 2AB=2BC
, т. е. AB=BC
. Следовательно, этот параллелограмм — ромб.