14306. Докажите, что для любого параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
выполняется неравенство
AA_{1}^{2}\lt\frac{1}{4}(AB_{1}^{2}+BC_{1}^{2}+CD_{1}^{2}+DA_{1}^{2}).
Решение. Обозначим AB=x
, AD=y
, AA_{1}=z
. Из теоремы о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011) получаем, что
AB_{1}^{2}+CD_{1}^{2}=2x^{2}+2z^{2},~BC_{1}^{2}+DA_{1}^{2}=2y^{2}+2z^{2}.
Значит,
AB_{1}^{2}+BC_{1}^{2}+CD_{1}^{2}+DA_{1}^{2}=2x^{2}+2z^{2}+2y^{2}+2z^{2}=4z^{2}+2(x^{2}+y^{2}).
Тогда из неравенства x^{2}+y^{2}\gt0
следует неравенство
\frac{1}{4}(AB_{1}^{2}+BC_{1}^{2}+CD_{1}^{2}+DA_{1}^{2})\gt z^{2}=AA_{1}^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — пример 3, с. 162