14308. Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
, h_{4}
— высоты тетраэдра, r
— радиус вписанной сферы. Докажите, что
h_{1}h_{2}h_{3}h_{4}\geqslant256r^{4}.
Решение. Воспользуемся равенством
\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}=\frac{1}{r}
(см. задачу 7129) и неравенством Коши для чисел \frac{1}{h_{1}}
, \frac{1}{h_{2}}
, \frac{1}{h_{3}}
, \frac{1}{h_{4}}
. Получим
\sqrt[{4}]{{\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}h_{4}}}}=\sqrt[{4}]{{\frac{1}{h_{1}}\cdot\frac{1}{h_{2}}\cdot\frac{1}{h_{3}}\cdot\frac{1}{h_{4}}}}\leqslant\frac{1}{4}\left(\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}\right)=\frac{1}{4r}.
Следовательно,
h_{1}h_{2}h_{3}h_{4}\geqslant(4r)^{4}=256r^{4},
причём равенство достигается, если h_{1}=h_{2}=h_{3}=h_{4}
, т. е. для равногранного тетраэдра (см. задачу 7282).
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — пример 5, с. 163