7282. Докажите, что все грани тетраэдра равны тогда и только тогда, когда они равновелики.
Указание. Докажите, что бимедианы тетраэдра являются его бивысотами.
Решение. Если все грани тетраэдра ABCD
равны, то они равновелики. Пусть все грани тетраэдра ABCD
равновелики. Из середины G
ребра AB
опустим перпендикуляр GH
на ребро CD
(рис. 1). Рассмотрим ортогональную проекцию PA_{1}B_{1}
тетраэдра ABCD
на плоскость, перпендикулярную CD
, где P
— проекция точек C
, D
и H
; A_{1}
— проекция вершины A
, B_{1}
— проекция вершины B
.
Из равенства площадей треугольников ADC
и BDC
, следует равенство их высот, опущенных на общую сторону CD
, а значит, и равенство ортогональных проекций A_{1}P
и B_{1}P
этих высот на плоскость, перпендикулярную CD
. Поскольку проекция G_{1}
середины отрезка AB
является серединой A_{1}B_{1}
, медиана PG_{1}
равнобедренного треугольника A_{1}B_{1}P
перпендикулярна основанию A_{1}B_{1}
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах GH\perp AB
. Значит, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
проходит через середину AB
. Аналогично докажем, что общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
(бивысота тетраэдра) проходит через середину CD
(т. е. является бимедианой тетраэдра).
Таким образом, бимедианы тетраэдра ABCD
, являются его бивысотами. Следовательно, тетраэдр равногранный (см. задачу 7254).
Примечание. 1. Поскольку произведение площади грани тетраэдра на проведённую к ней высоту постоянно (оно равно утроенному объёму тетраэдра), то верно утверждение: все грани тетраэдра равны тогда и только тогда, когда равны все высоты тетраэдра.
2. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.