7254. Докажите, что тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, являются общими перпендикулярами этих рёбер, т. е. бимедианы тетраэдра являются его бивысотами.
Указание. Рассмотрите описанный параллелепипед данного тетраэдра.
Решение. Рассмотрим описанный параллелепипед данного тетраэдра (см. задачу 7041). Тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда этот параллелепипед прямоугольный (см. задачу 7994), что равносильно тому, что отрезки, соединяющие центры противоположных граней параллелепипеда (т. е. бимедианы тетраэдра), перпендикулярны этим граням.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.