7994. Докажите, что:
а) тетраэдр
ABCD
ортоцентрический тогда и только тогда, когда все рёбра его описанного параллелепипеда (см. задачу 7041) равны.
б) тетраэдр
ABCD
равногранный тогда и только тогда, когда его описанный параллелепипед прямоугольный.
Решение. а) Известно, что противолежащие рёбра ортоцентрического тетраэдра попарно перпендикулярны (см. задачу 7808):
AB\perp CD
,
AC\perp BD
и
AD\perp BC
. Рассмотрим его описанный параллелепипед
AKBLNDMC
,
AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
(см. задачу 7041).
Так как
KL\parallel CD
, то
KL\perp AB
, поэтому параллелограмм
AKBL
— ромб, значит,
AK=KB=BL=AL
. Аналогично,
AK=KD=DN=AN
и
AL=LC=CN=AN
. Следовательно, все рёбра параллелепипеда
AKBLNDMC
равны.
Пусть теперь все рёбра параллелепипеда равны. Тогда все его грани ромбы, а так как диагонали ромба перпендикулярны, то перпендикулярны противоположные рёбра тетраэдра. Следовательно, он ортоцентрический (см. задачу 7807).
б) Известно, что противолежащие рёбра равногранного тетраэдра попарно равны (см. задачу 7266):
AB=CD
,
AC=BD
и
AD=BC
. Рассмотрим его описанный параллелепипед
AKBLNDMC
(
AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
).
Так как
KL=CD
, то
KL=AB
, поэтому параллелограмм
AKBL
— прямоугольник. Аналогично, остальные грани параллелепипеда
AKBLNDMC
— прямоугольники, т. е. параллелепипед — прямоугольный.
Пусть теперь параллелепипед прямоугольный. Тогда все его грани — прямоугольники, а так как диагонали прямоугольника равны, то равны и противолежащие рёбра тетраэдра. Следовательно, он равногранный.
Примечание. 1. См. также статью В.Э.Матизена и В.Н.Дубровского: «Из геометрии тетраэдра», Квант, 1988, N9, с.66.
2. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.48а, с. 106
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.58б, с. 115