7994. Докажите, что:
а) тетраэдр ABCD
ортоцентрический тогда и только тогда, когда все рёбра его описанного параллелепипеда (см. задачу 7041) равны.
б) тетраэдр ABCD
равногранный тогда и только тогда, когда его описанный параллелепипед прямоугольный.
Решение. а) Известно, что противолежащие рёбра ортоцентрического тетраэдра попарно перпендикулярны (см. задачу 7808): AB\perp CD
, AC\perp BD
и AD\perp BC
. Рассмотрим его описанный параллелепипед AKBLNDMC
, AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
(см. задачу 7041).
Так как KL\parallel CD
, то KL\perp AB
, поэтому параллелограмм AKBL
— ромб, значит, AK=KB=BL=AL
. Аналогично, AK=KD=DN=AN
и AL=LC=CN=AN
. Следовательно, все рёбра параллелепипеда AKBLNDMC
равны.
Пусть теперь все рёбра параллелепипеда равны. Тогда все его грани ромбы, а так как диагонали ромба перпендикулярны, то перпендикулярны противоположные рёбра тетраэдра. Следовательно, он ортоцентрический (см. задачу 7807).
б) Известно, что противолежащие рёбра равногранного тетраэдра попарно равны (см. задачу 7266): AB=CD
, AC=BD
и AD=BC
. Рассмотрим его описанный параллелепипед AKBLNDMC
(AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
).
Так как KL=CD
, то KL=AB
, поэтому параллелограмм AKBL
— прямоугольник. Аналогично, остальные грани параллелепипеда AKBLNDMC
— прямоугольники, т. е. параллелепипед — прямоугольный.
Пусть теперь параллелепипед прямоугольный. Тогда все его грани — прямоугольники, а так как диагонали прямоугольника равны, то равны и противолежащие рёбра тетраэдра. Следовательно, он равногранный.
Примечание. 1. См. также статью В.Э.Матизена и В.Н.Дубровского: «Из геометрии тетраэдра», Квант, 1988, N9, с.66.
2. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.