14311. Боковые рёбра треугольной пирамиды с высотой h
попарно перпендикулярны. Площади боковых граней равны S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
. Докажите, что
S_{1}+S_{2}+S_{3}\geqslant\frac{9}{2}h^{2}.
Решение. Пусть боковые рёбра SA
, SB
и SC
пирамиды SABC
равны a
, b
и c
соответственно. Тогда
S_{1}+S_{2}+S_{3}=\frac{1}{2}(ab+ac+bc)\geqslant\frac{1}{2}\cdot3\sqrt[{3}]{{ab\cdot ac\cdot bc}}=\frac{3}{2}\sqrt[{3}]{{a^{2}b^{2}c^{2}}}.
Пусть высота SH
такой пирамиды образует с боковыми рёбрами углы \alpha
, \beta
и \gamma
. Тогда
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1
(см. задачу 7260). В нашем случае
\cos\alpha=\frac{h}{a},~\cos\beta=\frac{h}{b},~\cos\gamma=\frac{h}{c},
поэтому
\frac{h^{2}}{a^{2}}+\frac{h^{2}}{b^{2}}+\frac{h^{2}}{c^{2}}=1.
Значит,
h^{2}=\frac{1}{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}=\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}\leqslant\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{3\sqrt[{3}]{{a^{4}b^{4}c^{4}}}}=\frac{\sqrt[{3}]{{a^{2}b^{2}c^{2}}}}{3},
откуда \sqrt[{3}]{{a^{2}b^{2}c^{2}}}\geqslant3h^{2}
. Следовательно,
S_{1}+S_{2}+S_{3}\geqslant\frac{3}{2}\sqrt[{3}]{{a^{2}b^{2}c^{2}}}\geqslant\frac{3}{2}\cdot3h^{2}=\frac{9}{2}h^{2}.
Что и требовалось доказать.