14313. Докажите, что в прямоугольном тетраэдре сумма квадратов площадей сечений, проведённых через стороны основания и точку G
пересечения медиан тетраэдра, равна \frac{3}{2}
квадрата площади основания.
Решение. Пусть DA=a
, DB=b
, DC=c
— боковые ребра прямоугольного тетраэдра ABCD
с вершиной D
. Квадрат площади основания тетраэдра равен сумме квадратов площадей его боковых граней (см. задачу 7239), т. е.
S_{\triangle ABC}^{2}=\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}).
Пусть M
— середина ребра BC
. Тогда сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро DA
и точку пересечения медиан тетраэдра, — это треугольник BCN
, где N
— середина бокового ребра DA
, так как точка G
— середина отрезка MN
(см. задачу 7108).
Пусть DP
— высота прямоугольного треугольника BDC
, проведённая из вершины прямого угла. Поскольку AD
— перпендикуляр к плоскости BDC
(ND\perp DB
и ND\perp DC
), а DP
— ортогональная проекция наклонной NP
на эту плоскость, то по теореме о трёх перпендикулярах NP\perp BC
, поэтому NP
— высота треугольника BNC
. Из прямоугольного треугольника PDN
находим, что
NP=\sqrt{DN^{2}+DP^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}c^{2}}{b^{2}+c^{2}}}.
Значит,
S_{\triangle BNC}=\frac{1}{2}BC\cdot NP=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}\cdot\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}c^{2}}{b^{2}+c^{2}}}=\frac{1}{4}\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+4b^{2}c^{2}}.
Тогда
S_{\triangle BDC}^{2}=\frac{1}{16}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+4b^{2}c^{2}).
Аналогично, квадраты площадей остальных двух сечений, о которых говорится в условии задачи, равны
\frac{1}{16}(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+4a^{2}c^{2}),~\frac{1}{16}(b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+4a^{2}b^{2}).
Следовательно, сумма квадратов площадей всех трёх сечений равна
\frac{1}{16}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+4b^{2}c^{2})+\frac{1}{16}(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+4a^{2}c^{2})+\frac{1}{16}(b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+4a^{2}b^{2})=
=\frac{1}{16}\cdot6(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})=\frac{3}{8}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})=
=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})=\frac{3}{2}S_{\triangle ABC}.
Что и требовалось доказать.