7108. Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер (бимедианы тетраэдра), пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. Докажем сначала, что в одной точке пересекаются медианы тетраэдра. Для этого достаточно установить, что любые две медианы тетраэдра пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении 3:1
, считая от вершины. Отсюда будет следовать, что через точку, делящую одну и медиан тетраэдра в отношении 3:1
, считая от вершины, проходят остальные три медианы.
Пусть M
и N
— точки пересечения медиан граней соответственно ABC
и ABD
тетраэдра ABCD
(рис. 1), K
— середина AB
. Плоскость, проходящая через точки D
, K
и C
, содержит точки M
и N
, причём стороны CK
и DK
треугольника DKC
делятся этими точками в одном и том же отношении:
CM:MK=DN:NK=2:1.
Из подобия треугольников KCD
и KMN
следует, что
CD:MN=KC:KM=3:1.
Пусть отрезки DM
и CN
пересекаются в точке O
. Из подобия треугольников DOC
и MON
следует, что
OD:OM=OC:ON=CD:MN=3:1,
что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, также проходят через точку O
.
Пусть L
— середина ребра CD
(рис. 2). Тогда отрезки DM
и KL
лежат в одной плоскости — плоскости треугольника KDC
. Пусть они пересекаются в точке O'
. Через точку D
проведём прямую, параллельную CK
, и обозначим через P
точку пересечения этой прямой с продолжением отрезка KL
. Тогда
DP=CK,~KM=\frac{1}{3}CK=\frac{1}{3}DP.
Из подобия треугольников DO'P
и MO'K
находим, что
DO':O'M=DP:KM=3:1.
Значит, точка O'
совпадает с точкой O
. Аналогично, отрезки, соединяющие середины рёбер BC
и AD
, а также BD
и AC
, проходят через точку O
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Поместим в вершины тетраэдра ABCD
одинаковые массы m
. Тогда центр масс точек A
, B
и C
— точка M
пересечения медиан грани ABC
(см. задачу 1207). Поместим в точку D_{1}
массу 3m
. Тогда центр масс точек A
, B
, C
и D
— точка O
, лежащая на отрезке DM
и делящая его в отношении DO:OM=3m:m=3:1
(см. задачи 6797 и 6798). Из единственности центра масс следует, что остальные медианы тетраэдра также проходят через точку O
и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины тетраэдра.
С другой стороны, если поместить в середины K
и L
рёбер AB
и CD
массы 2m
, то центр O
масс тетраэдра ABCD
— середина отрезка KL
. Остальные отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, также проходят через точку O
и делятся ею пополам.
Третий способ. Достроим тетраэдр ABCD
до параллелепипеда ALBKMCND
, проведя через противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (ALBK
и MCDN
— противоположные грани, AM\parallel LC\parallel BN\parallel KD
. В центре O
этого параллелепипеда пересекаются и медианы тетраэдра ABCD
(см. задачу 7110) и отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер (см. задачу 7103).