14314. Докажите, что объём тетраэдра, вершинами которого являются точка G
пересечения медиан данного тетраэдра ABCD
и три середины его рёбер, не лежащие в одной плоскости с точкой G
, равен \frac{1}{16}
объёма ABCD
(теорема Монжа).
Решение. Пусть точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины одной из граней тетраэдра, например, грани ABC
. Тогда площадь основания A_{1}B_{1}C_{1}
тетраэдра A_{1}B_{1}C_{1}G
равна четверти площади грани ABC
тетраэдра ABCD
, а высота тетраэдра A_{1}B_{1}C_{1}G
, проведённая из точки G
, — четверти высоты тетраэдра ABCD
. Следовательно,
V_{A_{1}B_{1}C_{1}G}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}V_{ABCD}=\frac{1}{16}V_{ABCD}.
Аналогично для трёх остальных таких тетраэдров.
Пусть точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины рёбер с общей вершиной в вершине тетраэдра ABCD
, например, с вершиной D
. Тогда площадь основания A_{1}B_{1}C_{1}
(подобного треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{1}{2}
) тетраэдра A_{1}B_{1}C_{1}G
равна четверти площади грани ABC
тетраэдра ABCD
, а высота тетраэдра A_{1}B_{1}C_{1}G
, проведённая из точки G
, — четверти высоты тетраэдра ABCD
. Следовательно,
V_{A_{1}B_{1}C_{1}G}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}V_{ABCD}=\frac{1}{16}V_{ABCD}.
Аналогично для трёх остальных таких тетраэдров.
Во всех остальных случаях среди точек A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
есть две, лежащие на противоположных рёбрах тетраэдра ABCD
, а значит, на прямой, проходящей через точку G
(см. задачу 7108). Тогда точка G
лежит в плоскости, проходящей через точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, что противоречит условию задачи.