14315. Найдите объём прямоугольного тетраэдра с равными боковыми (попарно перпендикулярными) рёбрами, если его высота, опущенная на основание, равна h
.
Ответ. \frac{h^{2}\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Рассмотрим куб с ребром a
. Плоскость, проходящая через концы трёх рёбер, исходящих из одной его вершины, перпендикулярна диагонали, исходящей из той же вершины, а также удалена от этой вершины на расстояние, равное трети диагонали (см. задачу 7300), значит, h=\frac{1}{3}a\sqrt{3}
, откуда a=h\sqrt{3}
.
Рассматриваемая плоскость отсекает от куба прямоугольный тетраэдр, о котором говорится в условии. Боковые рёбра этого тетраэдра равны ребру куба, т. е. h\sqrt{3}
. Площадь боковой грани тетраэдра равна \frac{1}{2}a^{2}=\frac{3}{2}h^{2}
, а высота, опущенная на это грань, равна a=h\sqrt{3}
. Следовательно, объём тетраэдра равен
\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}h^{2}\cdot h\sqrt{3}=\frac{h^{3}\sqrt{3}}{2}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 6.15, с. 116