7300. Докажите что диагональ CA_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна плоскости AB_{1}D_{1}
, проходит через центр треугольника AB_{1}D_{1}
и делится его плоскостью в отношении 2:1
, считая от вершины C
.
Решение. По теореме о трёх перпендикулярах прямая CA_{1}
перпендикулярна прямой B_{1}D_{1}
, так как ортогональная проекция C_{1}A_{1}
наклонной CA_{1}
на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна прямой B_{1}D_{1}
, лежащей в этой плоскости. Аналогично CA_{1}\perp AB_{1}
. Поскольку прямая CA_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым B_{1}D_{1}
и AB_{1}
плоскости AB_{1}D_{1}
, эта прямая перпендикулярна плоскости AB_{1}D_{1}
.
Пусть O_{1}
центр грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Рассмотрим прямоугольник AA_{1}C_{1}C
. Точка O_{1}
— середина его стороны A_{1}C_{1}
, а точка M
пересечения CA_{1}
и AO_{1}
— это точка пересечения диагонали CA_{1}
с плоскостью AB_{1}D_{1}
. Из подобия треугольников AMC
и O_{1}MA_{1}
следует, что \frac{AM}{MO_{1}}=\frac{CM}{MA_{1}}=\frac{AC}{O_{1}A_{1}}=2
. Точка M
лежит на медиане AO_{1}
равностороннего треугольника AB_{1}D_{1}
и делит её в отношении 2:1
, считая от вершины. Следовательно, M
— центр этого треугольника.
Примечание. Верно более общее утверждение: диагональ CA_{1}
любого параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проходит через точку пересечения медиан треугольника AB_{1}D_{1}
и делится его плоскостью в отношении 2:1
, считая от вершины C
.