14701. Докажите что диагональ AC_{1}
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна плоскости A_{1}BD
тогда и только тогда, когда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— куб.
Решение. Если ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— куб, то его диагональ AC_{1}
перпендикулярна плоскости A_{1}BD
(см. задачу 7300).
Пусть диагональ AC_{1}
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна плоскости A_{1}BD
. Тогда прямая A_{1}C
перпендикулярна прямой BD
этой плоскости. По теореме о трёх перпендикулярах ортогональная проекция AC
прямой AC_{1}
на плоскость грани ABCD
перпендикулярна прямой BD
, лежащей в этой плоскости. Диагонали AC
и BD
прямоугольника ABCD
перпендикулярны, поэтому ABCD
— квадрат. Аналогично, ABB_{1}A_{1}
— квадрат. Следовательно, ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— куб.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — , № 2.10, с. 21