14317. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые делит правильную четырёхугольную пирамиду плоскость, перпендикулярная стороне основания и делящая эту сторону в отношении 1:3
.
Ответ. 5:27
.
Решение. Пусть SABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S
, высотой SH=h
, стороной основания AB=a
и объёмом V
. Точка M
лежит на стороне AB
основания, причём BN:AM=1:3
, а секущая плоскость, перпендикулярная AB
пересекает рёбра SL
, SB
, AB
и CD
в точках K
, L
, M
и N
соответственно.
Пусть P
и Q
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Тогда секущая плоскость параллельна плоскости PSQ
, а так как M
— середина отрезка BP
, то L
— середина ребра SB
. Аналогично, N
и K
— середины CQ
и SC
. Тогда KL=\frac{a}{2}
как средняя линия треугольника BSC
.
На продолжении отрезка KL
за точку L
отложим отрезок KE=KL=\frac{a}{2}
. Тогда CKNBEM
— треугольная призма с боковыми рёбрами BC=MN=EK=a
и расстоянием между прямой EK
и плоскостью грани BCNM
, равным \frac{1}{2}SH=\frac{h}{2}
. Объём этой призмы (см. задачу 7237)
S_{CKNBEM}=S_{BCNM}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}SH=\frac{a^{2}}{4}\cdot\frac{1}{4}h=\frac{a^{2}h}{16}=\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{3}a^{2}h=\frac{3}{16}V.
Пусть V_{1}
— объём той части данной пирамиды, которая содержит точку B
. Тогда V_{1}
равно разности объёмов достроенной призмы и треугольной пирамиды BMEK
— трети от половины объёма призмы, или шестой части объёма призмы. Значит,
V_{1}=\frac{5}{6}V_{CKNBEM}=\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{16}V=\frac{5}{32}V.
Следовательно, искомое отношение объёмов равно
\frac{V_{1}}{V-V_{1}}=\frac{5}{32-5}=\frac{5}{27}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 6.19, с. 116