14325. Докажите, что сумма квадратов расстояний от ортоцентра до вершин ортоцентрического тетраэдра равна квадрату диаметра его описанной сферы.
Указание. См. решение задачи 14324.
Решение. Пусть O
— центр описанной сферы радиуса R
ортоцентрического тетраэдра ABCD
, H
— ортоцентр тетраэдра. Тогда (см. решение задачи 14324)
R^{2}=OA^{2}=\frac{1}{4}(HA^{2}+HB^{2}+HC^{2}+HD^{2}).
Следовательно,
HA^{2}+HB^{2}+HC^{2}+HD^{2}=4R^{2}=(2R)^{2}.
Что и требовалось доказать.