14332. Докажите, что радиус вписанной окружности любой грани тетраэдра больше радиуса его вписанной сферы.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной сферы, rho
— радиус окружности, вписанной в грань тетраэдра, r_{1}
— радиус сечения вписанной сферы плоскостью, проведённой через центр сферы параллельно этой грани. Тогда проведённое сечение — треугольник, подобный этой грани с коэффициентом, меньшим 1 (см. задачу 9105). Значит,
\rho\gt r_{1}\gt r.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — , № 9.11, с. 178
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — , № 15.39, с. 244