9105. Через точку, взятую на боковом ребре пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Докажите, что сечение пирамиды этой плоскостью — многоугольник, подобный основанию.
Решение. Пусть S
— вершина пирамиды, M
и N
— точки на соседних боковых рёбрах SA
и SB
соответственно. Из теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009) следует, что MN\parallel AB
. При гомотетии с центром S
, переводящей точку M
в A
, прямая MN
переходит в параллельную её прямую AB
, а прямая SN
— в себя, значит, точка N
переходит в B
. Аналогично остальные вершины многоугольника сечения переходят в соответствующие вершины многоугольника основания, а стороны первого многоугольника — в стороны второго. Следовательно, эти многоугольники подобны (причём с коэффициентом, меньшим 1).