14334. Пусть S
— площадь основания прямоугольного тетраэдра, а R
— радиус его описанной сферы. Докажите, что
S\sqrt{3}\leqslant2R^{2}.
Решение. Докажем сначала, что для любых трёх чисел a
, b
и c
верно неравенство
a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\leqslant\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}.
Действительно,
a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\leqslant\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~3a^{2}b^{2}+3a^{2}c^{2}+3b^{2}c^{2}\leqslant a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}2+b^{2}c^{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\leqslant a^{4}+b^{4}+c^{4}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}\leqslant2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~0\leqslant(a^{2}-b^{2})^{2}+(a^{2}-c^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}.
Последнее неравенство очевидно.
Пусть боковые рёбра тетраэдра равны a
, b
и c
, а площади боковых граней равны S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
. Тогда (см. задачу 7239)
S=\sqrt{S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{2}{\sqrt{3}}R^{2}
(см. задачу 7275). Следовательно,
S\sqrt{3}\leqslant2R^{2}.
Что и требовалось доказать.