14336. Боковые рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны (прямоугольный тетраэдр) и равны a
, b
и c
. Площади боковых граней равны S_{1}
, S_{2}
и S_{1}
, площадь основания равна S
, а радиус вписанного шара тетраэдра равен r
. Докажите, что
r=\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}-S}{a+b+c}.
Решение. Пусть V
— объём тетраэдра. Тогда (см. задачу 7185)
r=\frac{3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S}=\frac{3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}ab\cdot c}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S}=\frac{abc}{2(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S)}.
Значит, учитывая, что
S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}=S^{2}
(см. задачу 7239), получим
r=\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}-S}{a+b+c}~\Leftrightarrow~\frac{abc}{2(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S)}=\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}-S}{a+b+c}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~abc(a+b+c)=2((S_{1}+S_{2}+S_{3})^{2}-S^{2})~\Leftrightarrow~
abc(a+b+c)=2(2S_{1}S_{2}+2S_{1}S_{3}+2S_{2}S_{3})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab=2\left(2\cdot\frac{1}{2}ab\cdot\frac{1}{2}ac+2\cdot\frac{1}{2}ab\cdot\frac{1}{2}bc+2\cdot\frac{1}{2}ac\cdot\frac{1}{2}bc\right)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab=a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab.
Отсюда следует утверждение задачи.