14338. а) Дан тетраэдр ABCD
с прямыми плоскими углами при вершине D
(прямоугольный тетраэдр). Докажите, что основание высоты DH
тетраэдра — ортоцентр треугольника ABC
.
б) Вычислите объём прямоугольного тетраэдра ABCD
, если AD=a
, BC=a_{1}
, \angle DAH=\alpha
.
Ответ. \frac{1}{6}a^{2}a_{1}\tg\alpha
.
Решение. а) См. задачу 9207а.
б) Пусть луч AH
пересекает прямую BC
в точке A_{1}
. Тогда AA_{1}
— высота треугольника ABC
. Прямая DA
перпендикулярна пересекающимся прямым DB
и DC
плоскости BDC
, значит, эта прямая перпендикулярна плоскости BDC
. В частности, DA\perp DA_{1}
. Из прямоугольных треугольников ADA_{1}
и AHD
находим, что
AA_{1}=\frac{AD}{\cos\alpha}=\frac{a}{\cos\alpha},~DH=AD\sin\alpha=a\sin\alpha.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AA_{1}\cdot DH=
=\frac{1}{6}a_{1}\cdot\frac{a}{\cos\alpha}\cdot a\sin\alpha=\frac{1}{6}a^{2}a_{1}\tg\alpha.