9207. Боковые рёбра пирамиды SABC
с вершиной S
попарно перпендикулярны.
а) Докажите, что высота SH
пирамиды проходит через точку пересечения высот основания ABC
.
б) Найдите SH
, если боковые рёбра равны 2, 2 и 7\sqrt{2}
.
Ответ. 1,4.
Решение. а) Прямая SA
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SB
и SC
плоскости BSC
, значит, прямая SA
перпендикулярна этой плоскости, а значит, и прямой BC
.
Пусть прямые AH
и BC
пересекаются в точке A_{1}
. Поскольку AH
— ортогональная проекция наклонной SA
к плоскости ABC
, а SA\perp BC
, то по теореме о трёх перпендикулярах AH\perp BC
. Значит, точка H
лежит на высоте AA_{1}
треугольника ABC
. Аналогично, точка H
лежит на высоте BB_{1}
этого треугольника. Следовательно, H
— точка пересечения его высот (см. задачу 1256).
б) Отрезок SA_{1}
— высота равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами SB=SC=2
, значит, SA_{1}=\sqrt{2}
. Отрезок SH
— высота прямоугольного треугольника ASA_{1}
с катетами SA=2\sqrt{7}
, SA_{1}=\sqrt{2}
и гипотенузой
AA_{1}=\sqrt{SA^{2}+SA_{1}^{2}}=\sqrt{98+2}=10.
Следовательно (см. задачу 1967),
SH=\frac{SA\cdot SA_{1}}{AA_{1}}=\frac{2\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}}{10}=\frac{7}{5}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4.15, с. 38